前回の続きである。「群の合同式」を用いた同型定理の証明に移ろう。群論で「同型定理」と言われる定理はいくつかあるが、ここで料理するのは次の定理である。なお、この記事では群演算の記号「\(\star\)」は省略し、単に積として書き並べる。
【定理】 \(G\) を群、\(H\) を \(G\) の部分群、\(N\) を \(G\) の正規部分群とすると、\(H \cap N\) は \(H\) の正規部分群であり、\(H/(H \cap N) \cong (HN)/N\)
\(HN\) が \(G\) の部分群になることと、\(N\) がその正規部分群になることの証明は省略するが、これも合同式の考え方を使ってすっきり解決できる。以下と結構重なる部分もあるので、興味のある方は考えてみるといいだろう（別に難しくはない）。
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\(\newcommand{\field}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\Z}{\field{Z}}
\)
群について学ぶとき、正規部分群は避けては通れないものだ。しかし、群論の大抵の解説や教科書的なものでの正規部分群の定義・説明は大変解りにくいものになっている、と私は感じる。それは、正規部分群の「標準的な定義」をそのまま定義として採用してしまっているからだ。標準的な定義というのはこうだ。
群 \(G\) の部分群 \(H\) が
\[ \forall h \in H, \forall g\in G,\quad ghg^{-1} \in H \]
をみたすとき、\(H\) は \(G\) の正規部分群であるという。
あるいは、次の形を取ることもよくある。
群 \(G\) の部分群 \(H\) が
\[ \forall g\in G,\quad gH=Hg \]
をみたすとき、\(H\) は \(G\) の正規部分群であるという。
しかしこんな書き方をされても、初めて正規部分群というものに接する人にとっては何が何やらさっぱりわからない。単なる「部分群」だったら非常に明快でわかりやすい概念だったのに、頭に「正規」がついた途端にさっぱりイメージの湧かない、意味不明なシロモノになってしまって大変にギャップが大きい。
(さらに…)
\(\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
\newcommand{\field}[1]{\mathbb{#1}}
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\newcommand{\C}{\field{C}}
\)
方程式論で現れるガロア群の変換というのは、複素共役とよく似ているのだが、このことに触れている解説というのは思ったより少ないようだ。（※ 例によって、ガロア理論の解説に網羅的に目を通しているわけではないので、あんまりちゃんとした根拠のある発言ではない。ただ、私が見た範囲内ではほとんど触れられていなかったので、「厚くて詳しく書いてあるような書籍でないと言及してないのかなー」という印象はある）もちろん、類似性は重々意識しつつ、全体の分量とのバランスを考えて盛り込むのは見送った、という筆者の方も多いだろうが、ここでは「書く分量に制約を受けない」という web の利点を生かして、私なりに「複素共役との類似性」について書いてみようと思う。
(さらに…)
\(\newcommand{\field}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\Q}{\field{Q}}\)
ガロア群の定義は、現代流に再編された代数理論だと、ベースになる体 \(K\) とそのガロア拡大体 \(L\) に対して、\(L\) の \(K\) 同型写像全体のなす群として定めている。これはこれでスッキリしていて利点も多いのだが、そこに至るまでの数学的準備が結構必要な上、方程式の解との関係が最初はよく解らない形で与えられているという特徴もある。現代代数学はその特徴を特に「欠点」とは捉えずその形で話を進めるわけだが、ガロア理論の解説書では、しばしばガロアが当時考えていた形に立ち戻って定義を紹介している。例えば、中村亨「ガロアの群論」 や、それに影響を受けた 結城浩「数学ガール」、「4次方程式と5次以上の方程式のGalois理論」などがその系列に属する。その基本発想は私は評価したいのだが、そこで述べられる「ガロア流のガロア群の定義」というのは、私からするとひとつ「理解しづらいクセのある叙述」がある（おそらく、ガロアの原論文でこのような形で述べられていて、それを尊重しているのだろうが）。
(さらに…)
\(\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
\newcommand{\rnsg}{\mathrel{\vartriangleright}}
\newcommand{\field}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\Q}{\field{Q}}
\newcommand{\C}{\field{C}}
\newcommand{\zettaiti}[1]{\lvert #1 \rvert}
\)
以下の文章で、「本文書」というのは「ガロア理論入門ノート」のことを指す。
■ p.34 命題38 「有理関数体」と言うからには \(X_{i}\) は不定元。\(\C\) の数ではない。そして \(s_{i}\) がそれらの基本対称式と言うからには、\(s_{i}\) も \(\C\) の数ではなく、\(X_{1}+X_{2}+ \dots + X_{n}\) のような、不定元のある特定の計算式（多項式）を表している。つまり \(s_{i}\) は新たな不定元ではなく、そういった特定の式の略記。
\(X_{i}\) を直接 \(K\) に添加する前に、まずそれらの特殊な組み合わせ \(s_{1}, \dots, s_{n}\) を添加し、その後で \(X_{1}, \dots, X_{n}\) を添加して体の拡大を図っている。これによって、不定元を基本対称式の形で係数に含む多項式 \(f(X) = X^{n}-s_{1}X^{n-1} + \dots + (-1)^{n}s_{n}\) の係数体 \(K(s_{1}, \dots, s_{n}) = K(X_{1}+ \dots + X_{n}, \dots, X_{1} \dotsm X_{n})\) およびその上の最小分解体 \(K(X_{1}, \dots, X_{n})\) を考えている。
(さらに…)
\(\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
\newcommand{\rnsg}{\mathrel{\vartriangleright}}
\newcommand{\field}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\Q}{\field{Q}}
\newcommand{\zettaiti}[1]{\lvert #1 \rvert}
\)
以下の文章で、「本文書」というのは「ガロア理論入門ノート」のことを指す。
この記事も、前回同様、\(K \to L\) のような矢印で体の拡大を表すことにする。
定理37の後半に踏み込む前に、以前言及した通り、定理37の中で命題15を利用する準備をしておこう。まず「組成列」に触れておく。
■ 本文書 p.14 定義(2) の組成列の定義は、文章が「さらに」で始まっているので結構紛らわしい。私は最初、「直前の文章の可解群の定義に現れる条件（\(G_{i-1}/G_{i}\) がすべて可換群）をみたしており、それに加えて \(G_{i-1}/G_{i}\) がすべて単純群になっているという条件もみたしているような列」を組成列と言うのかとばかり思い込んでしまったが、他の文献も参照してみるとどうもそういうことではないらしい。実際には直前の文章とは独立していて、「\(G_{i-1}/G_{i}\) が単純群かどうかだけが『組成列』の定義に関与していて、可換かどうかは問わない」ということのようである。したがって、２つの文章をつなぐ接続詞としては、「さらに」ではなく例えば「また」などの方が紛れがなくてよかったのではないかと思う。
(さらに…)
\(\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
\DeclareMathOperator{\Img}{Im}
\newcommand{\lnsg}{\mathrel{\vartriangleleft}}
\newcommand{\field}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\Q}{\field{Q}}
\newcommand{\zettaiti}[1]{\lvert #1 \rvert}
\)
以下の文章で、「本文書」というのは「ガロア理論入門ノート」のことを指す。
最初に、この記事での記法の約束を述べる。「\(K \to L\)」のように書いた場合、矢印は体の拡大を表すものとする。さらに、この記事だけで通じる記法として、矢印には、「\(\Q \xrightarrow{\sqrt{2}} \Q(\sqrt{2})\)」のように添加するべき数を添えて書くこともある。また、「\(K \xrightarrow{\text{べき根拡大}} L\)」と書いたら広義べき根拡大を表しているものとする。
なお「ガロア拡大」という用語の用法は本文書に従っているので、標数が \(0\) でない体を扱っている場合は以下の文章には正しくない部分が現れるものと思われるので注意されたい。
(さらに…)
\(\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
\DeclareMathOperator{\Img}{Im}
\newcommand{\field}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\Q}{\field{Q}}
\newcommand{\C}{\field{C}}
\newcommand{\zettaiti}[1]{\lvert #1 \rvert}
\)
以下の文章で、「本文書」というのは「ガロア理論入門ノート」のことを指す。
■ p.31 まず注意することは、ここで「方程式が代数的に解ける」と言っているのは、前回の記事の用語の用法では「解が存在する」の方の意味、つまり「べき根拡大を繰り返した体の『どこかには』解がある（けど具体的にそれがどこかにはまったく言及していない）」というだけだ、ということである。これは、前回の記事での「解ける」の方の意味、つまり「解がべき根を使った式で具体的に表せる」ということまで言っているわけではない、という点に注意しよう。
(さらに…)
\(\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
\newcommand{\field}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\Q}{\field{Q}}
\newcommand{\C}{\field{C}}
\newcommand{\rnsg}{\mathrel{\vartriangleright}}\)
「解の公式の有無」を考えるときに気をつけなければならないことの１つが「解がある（存在する）」と「解ける（解が表せる）」の違いだ。
代数学の基本定理により、「どんな方程式も、複素数の範囲内に必ず解を持つ」ことは保証されている。これと、「\(5\) 次方程式の解の公式がない」ということは一見すると矛盾しているように感じる人が多いだろう。
代数学の基本定理が言っているのは「\(5\) 次方程式だろうが \(100\) 次方程式だろうが、どんなに次数の高い方程式も、複素数 \(\C\) の中の『どこかには』必ず解がある」ということ（だけ）であって、「それは具体的にどこなのか」という値については何も教えてくれない。
「５次方程式には解の公式はない」というのは、「解自身は『どこかには』絶対あるのだけれど、それを四則演算及び \(\sqrt{~~}\), \(\sqrt[3]{~~}\) といったべき乗根による具体的な表式で表すことができるか、と言えばそれは別問題」という話である。易しい５次方程式の中にはそれが可能であるものもあるけれど、複雑になってくると最早不可能になる、というのが「５次方程式には解の公式はない」という話の意味するところだ。
まとめると、「複素数 \(\C\) の中に解はあるけど、それを具体的に表す式を作ることはできない」ということになる。
さて、ここからが本題。ガロア理論の中では、これと類似の違いに注意すべき場面なのに、多くの通俗本や web 上の記事ではそのことに無頓着なのではないか…？と私が感じている箇所がある。別にガロア理論に関する通俗本や web 記事を網羅的に調べたわけでは全然ないけれども、私の狭い範囲の経験の中では、今から述べることに注意を払った説明は見たことがない。
(さらに…)
\(\DeclareMathOperator{\Irr}{Irr}
\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
\newcommand{\zettaiti}[1]{\lvert #1 \rvert}\)
以下の文章で、「本文書」というのは「ガロア理論入門ノート」のことを指す。
■ p.29 補題32 主張の書き方がちょっとよくなくて、初見では正しく意図を理解するのが困難になってしまっている。本来の意図は
「\(\forall\theta\in L
\left[
\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}\sigma_{i}(\theta)=0
\right]\)」をみたすような \(\alpha_{i}\) は \(\alpha_{1}= \dots = \alpha_{n} =0\) のみに限られる
ということなのだが、普通に読むと、「\(\theta \in L\) を任意にひとつ固定すると、\(\sigma_{1}(\theta), \dots, \sigma_{n}(\theta)\) は \(L\) 上１次独立」という感じに読めてしまう。これだと \(\theta=0\) の場合に簡単に破綻するので、「そうではない」ということはすぐわかるのだが、改訂前の文書では現在残っているミスプリ（後述）だけに留まらない結構痛いミスプリがあったせいもあって、最初は手さぐり状態で正しい意図を読み取るのに苦労した。
■ そういうこともあるので、ここでは補題32・定理33の流れについての大まかな見通しを先に紹介しておく。まず定理33は、大雑把に言うと「べき根拡大 \(\fallingdotseq\) 巡回拡大」ということを証明している。そして補題32はその中で「巡回拡大は（ある条件のもとで）べき根拡大になる」ということを言う部分でのみ使われており、しかもそこで使われている形は
\(\theta\) をうまく選べば
\[ \theta + \zeta^{n−1}\sigma(\theta)+ \dots +
\zeta^{n−i}\sigma^{i}(\theta) + \dots + \zeta \sigma^{n−1}(\theta) \ne 0 \]
がなりたつようにできる
という弱い形になっている。（つまり、補題32の対偶で
\((\alpha_{1}, \dots, \alpha_{n}) \ne (0, \dots, 0)\) なら、\(\theta \in L\) の中には \(\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}\sigma_{i} (\theta) \ne 0\) をみたすものがある
がなりたつので、特に \((\alpha_{1}, \dots, \alpha_{n}) = (1, \zeta^{n-1}, \dots, \zeta)\) としてそれを利用している）
本文書で補題32を使っている箇所は他にないので、補題32はこの弱い形を示せさえすれば十分なのだが、そうした所で特に証明が簡単になるわけではない（恐らく）ので、実際に掲載されているような形で述べられているのだろう。
(さらに…)