\(\newcommand{\rnsg}{\mathrel{\vartriangleright}}
\newcommand{\lnsg}{\mathrel{\vartriangleleft}}
\DeclareMathOperator{\Irr}{Irr}
\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
\newcommand{\field}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\Q}{\field{Q}}
\newcommand{\C}{\field{C}}
\newcommand{\zettaiti}[1]{\lvert #1 \rvert}
\)
以下の文章で、「本文書」というのは「ガロア理論入門ノート」のことを指す。
■ p.26 定理29 「単純拡大」の定義が書いてないが、文脈からすると 1 個の数を添加するだけの拡大をそう言うのだろう。
■ p.26 定理29 \(c\) を選ぶ所で、\(i\) が \(2\) 以上となっているが、\(i=1\) も含めておかないと以下の話が破綻する(\(i=1\) も含めておかないと \(c=0\) でもいいことになってしまうが、そうすると \(\tilde{g}\) がゼロ多項式になってしまい、\(h\) と \(\tilde{g}\) の共通根が \(\zeta\) のみにならない)。
なお、この部分については志賀本の p.142 の、次の書き方の方が平易な書き方でいいと思う(文字の使い方は本文書に合わせて修正してある)。
\(K\) の数 \(c\) を適当に定めて、\(mn\) 個の数
\[ \eta_{i} + c\zeta_{j} \quad (i=1,2,\dots,m; j=1,2,\dots n) \]
はすべて異なるようにすることができる。これは有限個の1次方程式
\[ \eta_{i} + x\zeta_{j} = \eta_{i’} + x\zeta_{j’} \quad (j \ne j’) \]
の解以外の値を \(c\) としてとっておくとよい。
これだと、何をやっているのか非常に明確。
※ 「選ぶ」というのは \(K\) が無限体なら当然できるが、もし有限体だと選べることも自明ではなくなりそうなので、ここでも標数 \(0\) に限っていることが効いていると思われる。
■ p.26 定理29 本筋には全然影響しない話だが、本文書では「最小多項式」と言っただけでは最高次の係数は \(1\) とは限らないので、\(g(X)\), \(h(X)\) を定義するときに「最高次の係数は \(1\)」を追加するなどしておいた方がよいだろう。\(f(X)\) についても同様。
■ p.26 定理29 \(g\) の真上に付くはずのチルダ「~」が横にずれてしまっている。ここ以降もそういう箇所が何ヶ所か見られる。