カテゴリー: 数学

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\DeclareMathOperator{\Irr}{Irr}
\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}\)
以下の文章で、「本文書」というのは「ガロア理論入門ノート」のことを指す。

■ p.25 定理26 「\(\implies\)」の証明
\(f_{i}(X)\), \(f(X)\) を１次式の積に因数分解した式の小文字の \(x\) は大文字の \(X\) が正しい。
■ p.25 定理26 「\(\impliedby\)」の証明
ここが本文書を読む上で（私が）一番苦労した所だった。理由は何点かある。

まず、「\(f(X)=\Irr(\alpha,K)\) の \(L\) の最小分解体」という部分だが、ここで \(\Irr(\alpha,K)\) を \(f(X)\) とおくのは非常に紛らわしい…と言うか、はっきり言って誤り。「\(\impliedby\)」の仮定の \(f(X)\) も、この後で出てくる \(f(X)\) も \(\Irr(\alpha, K)\) とは別のものである（なのでこの文書を読み始めた頃はここの議論は非常に頭が混乱した…）。なので、ここの「\(f(X)=\)」は削除すべき。また、うって変わって非常に細かいことだが、「\(L\) の最小分解体」は「\(L\) 上の〜」であるべきはず。

そして、それにも増して当初さっぱり理解できなかったのが「\(\sigma\) を単射準同型写像 \(\tau\colon L \to L(\beta)\) まで拡張することができる」の部分だ。一体なぜそんなことが言えるのか？理由としては「\(L\) は \(f(X)\) の \(K(\alpha)\) 上の最小分解体であり、\(L(\beta)\) は \(f(X)\) の \(K(\beta)\) 上の最小分解体であるから」と書いてあるのだが、そのことがどのように生かせるのか、始めのうちはまったく謎だった。

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\DeclareMathOperator{\Irr}{Irr}
\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}\)
以下の文章で、「本文書」というのは「ガロア理論入門ノート」のことを指す。

■ p.20 系19 やはり \(M\) を \(K\) と書いてしまっている所があり、正しくは
\[ [L:K] = [L:M] [M:K] \]
となる。
■ p.20 代数的数・超越的数の定義の所で、「\(0\) でない \(\alpha \in L\) に対して」となっているが、「\(0\) でない」という条件は不要では。\(0\) の最小多項式は \(X\) である、ということで何も問題はなく、他の値と区別する必要はないし、この条件があると、\(0\) は代数的でないことになってしまう。

ひとつ考えられるのは、推敲の過程で「\(0\) でない」という語句を別の場所に付け加えようとして、うっかり間違えたのでは、ということ。「\(0\) でない」が「\(f(X) \in K[X]\) が存在するとき」の前に付くならば問題ない（と言うか、そちらはむしろ付かないとまずい。\(\alpha\) がどんな数であろうと、\(f(X)\) がゼロ多項式なら問答無用で \(f(\alpha)=0\) となるのだから）。
■ p.21 最小多項式の定義でも同様に、「次数最小の多項式」というとき、厳密には「0（ゼロ多項式）でない」という条件を付けておく必要がある（定理20の中では断っているけれど）。

また、後の方で当然の性質として特に明記せず使ってる性質として \(K\) 係数の多項式 \(g(X)\) が \(g(\alpha)=0\) をみたすなら、\(g(X)\) は最小多項式 \(\Irr(\alpha,K)\) で割り切れるというのがあるので、これをここで証明しておいた方がいいのでは。
■ p.22 定理21(2) の証明で、\(f(X)\) を \(X^{n}+b_{1}X^{n-1} + \dots +
b_{n}\) とおいてしまっているのはちょっと表記が混乱していて、これだと続く \(b_{i}\) を使っている式とごちゃまぜになってしまって破綻してしまう。ここでは、\(f(X)\) の係数を具体的におく必要はない。

また、ここで同様にして「有限次拡大なら代数拡大」ということを言っておかないと、次の系22(2)でギャップが生じてしまう（この証明は難解ではないので省略する）。
■ p.22 系22 単純なミスプリで、まず (1) の主張右辺で \(\alpha_{1}\) の添字が取れてただの \(\alpha\) になってしまっている。

\(\newcommand{\Deg}{^{\circ}}\)
前回は約10年前の行き詰まりまでしか話が進まなかった。その続きとして、この度再度ガロア理論にチャレンジしてみようと考えるまでの話も書いておく。

きっかけは、２年ほど前に職場で見かけた次の２つの問題だった。

問題1 ３次方程式 \(x^{3}-3x+1=0\) の３解を適当な順番で並べ、それを \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) とおく。すると、\(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) が次の関係を持つようにできることを証明せよ。
\[ \beta=\alpha^{2}-2, \gamma=\beta^{2}-2, \alpha=\gamma^{2}-2 \]

問題2 ３次方程式 \(x^{3}+x^{2}-2x-1=0\) の３解を \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) （\(\alpha \geqq \beta \geqq \gamma\)）とするとき、
\[ \beta\gamma^{2}+\gamma\alpha^{2}+\alpha\beta^{2} \]
の値を求めよ。

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以下の文章で、「本文書」というのは「ガロア理論入門ノート」のことを指す。

■ 定理17の証明で、「\(A_{n} = N\) であることを示せば \(A_{n}\) が可解群であることに矛盾する」という文はちょっとわかりにくいように思った。その前段で、特に \(N\) を真部分集合と限定していたわけではないので、最初に読んだときは「なんで矛盾なの？」と思ってしまった。前段部の「\(N \lnsg A_{n}\) かつ \(A_{n}/N\) がアーベル群となる部分群 \(N\) がある」が「\(\exists N\)」であると読めるような言い回しをしているためちょっと紛らわしいが、ここでの論法は「そのような \(N\) としては \(N=A_n\) しかありえない」ということを示すというものになっており、「\(\exists N\)」という話はしていなかったのだが、それはよく読まないとわからなかった。それならば確かに可解群でないと言えるが、それなら別にわざわざ背理法という態をとる必要はなく、\(A_{n}\) が可解ということを仮定せずに単に「\(N \lnsg A_{n}\) かつ \(A_{n}/N\) がアーベル群となる部分群 \(N\) は \(N=A_{n}\) に限る」ということを示せば、（\(A_{n}\) が非アーベル群であることとあわせて）\(A_{n}\) が可解でないことが直接言える。この方がシンプルではないだろうか。

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以下の文章で、「本文書」というのは「ガロア理論入門ノート」のことを指す。

■ p.14 命題15 まず、「群 \(G\) の正規部分群は \(G\) と \(\{e\}\) のみとする」という仮定はいささか不用意。これだと \(G=\{e\}\) の場合も適するので、（\(\{e\}\) が可解群であることも考えれば）結論の「\(G\) は位数素数の巡回群である」が成立しない。（にもかかわらず証明中で破綻が生じてないように見えるのは、\(e\) 以外の元 \(\alpha\) の存在を勝手に仮定してしまっているため）

なので、ここでは \(G=\{e\}\) の場合を除いておかないといけない。実際、単純群と言った時には単位群 \(\{e\}\) は除いておくのが正確な定義のようだ（ここは正確には私はわかっていない。文献によって単純群の定義が違っている感じで、本文書と同じく「自分自身と単位群以外に正規部分群を持たない」という条件しか課していないものもれば、「自明でない群」と断っているものもあった。前者なら単位群も立派な単純群だが、「有限単純群の分類一覧」のようなものを見るとどれも単位群は入っていないようなので、どうやら後者の方が正確な定義らしい）。

また、この証明では途中で \(\lvert \langle \alpha \rangle \rvert = n\) としている所で暗黙のうちに \(G\) が有限群と決めつけてしまっている。ただし、本文書の本題では実は有限群しか扱わないため、命題15は仮定に有限群という条件を追加しておけば、本文書内では特に問題なく話は完結している（上で述べた単位群についての話を除けば）。

ただ、命題15自身は特に有限群という仮定を置かなくても正しく成立するので、意欲ある読者はその仮定を置かずに有限群であることを導く議論を考えてみるとよい。

なお、この命題15は本文書中で一見使われていないように見えるが、実は本文書の主定理である定理37の「\(\impliedby\)」の証明中で明記せずに使われている、「有限可解群では、商群 \(G_{i-1}/G_{i}\) がすべて素数次の巡回群になるように正規列を取れる」ということの証明に使われる。

\(\newcommand{\lnsg}{\mathrel{\vartriangleleft}}\)
ここからは、実際に「ガロア理論入門ノート」の内容に立ち入って話を進めていく。

■ p.5 例(3)で「\(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\) の全ての元が生成元となり得る」とあるが、\(0\) は当然除かないといけない。
■ pp.6-7 定理3 p.6 の最下行で「の互換」がダブっている。なお、この証明では \(k\) の偶奇がどこにも効いておらず、置換群に初めて触れる読者には一見 \(k\) が偶数の場合にも矛盾が示されてしまったかのように見えるかもしれない。しかしこれは矛盾や証明の誤りではないので、この点を疑問に思った読者はどのようにして解決されるのか、まずは自分で考えてみるとよい。
■ p.6 \(V_{4} \lnsg A_{4}\) の証明の所で、「\(\lnsg\)」記号の位置がずれてやや見苦しくなってしまっている。
■ p.7 第２段落最後の方「偶数全体 \(A_{n}\)」は当然「偶置換〜」が正しい。
■ p.7 中段例(2)で、長さ 3 の巡回置換には \((143)\) が欠けている。
■ p.9 命題7の下の例の(2)で、「\(A_{4}=\langle(123), (124)\rangle\) なので、\(A_{4}/V_{4}\) は \(V_{4}\) と \((123)V_{4}\) と \((124)V_{4}\) からなる」とあるが、この「なので」はちょっと不用意な用法。加法群としての \(\mathbb{Z}\) は \(\mathbb{Z}=\langle1\rangle\) だけど、\(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) は \(3\mathbb{Z}\) と \(1+3\mathbb{Z}\) からできてるわけじゃない。つまり、\(A_{4}/V_{4}\) が \(V_{4}\) と \((123)V_{4}\) と \((124)V_{4}\) からなっていることは、\(A_{4}=\langle(123), (124)\rangle\) であることと関連はしていても、それが直接の単一原因というわけではない。
■ 命題8は補題36でしか使ってないはずで、補題36は定理37でのみ使い、しかも、私の考えが正しければ実は定理37は補題36を使わずに示せるはずなので、結果的には命題8は不要と思われる。
■ p.10 準同型定理の最初の所で、「２つ群の」とあるのは「２つの群の」。
■ 命題10 (1) の証明では、\(x’\) の逆元が \(\operatorname{Im}(f)\) に含まれることも示さないといけない（容易だが）。
■ p.12 定理13の証明で、(2) に進む前に、「このことと \(HN \supset N\) によって \(N\) は \(HN\) の正規部分群になるので、\(HN/N\) が定義できるようになる」ということに触れておくと親切かな。

とりあえず今日はここまで。

\(\newcommand{\field}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\Q}{\field{Q}}\)
「5 次（以上の）方程式には解の公式がない」という話を初めて読んだのは、小学校の図書室の本でだったか。当時は当然ながら 2 次方程式の解の公式はおろか \(\sqrt{~~}\) 記号すら知らなかった（それどころか「方程式」とは何なのか、を理解していたかどうかすら怪しい）が、他に取り上げられていた数学の話題と並んで、このことは印象に残っていた。

ガロア理論を理解したい、特に「5 次方程式に解の公式がない」という証明の理解を中心として、と思っていた私が、「ガロア理論入門ノート」という手頃なテキストのおかげで目標を達することができました。公開してくださった Osamu MATSUDA さんに感謝すると共に、後から同じ道を辿る方の助けとなるべく、読み進める過程で引っかかった点を解説したり、不備がある部分を補足していきたいと思います。

また、同テキストとは直接は関係しないような、関連する話題にも随時触れていきたいと思います。