月: 2015年4月

\(\newcommand{\kumiawase}[2]{{}_{#1}\text{C}_{#2}}\)
前回の考察で、「解決」まであと１歩だった、ということにようやく気づいたので書いておく。

\(\newcommand{\kumiawase}[2]{{}_{#1}\text{C}_{#2}}\)
「その２」で、２次元単純ランダムウォークについて次の等式\eqref{eq:37-1}がなりたつことに触れた。

２次元単純ランダムウォークで、原点から出発して \(n\) 歩後に \(x\) 座標が \(k\) となっているような経路数は
\begin{equation}
\label{eq:37-1}
\sum_{r} \frac{n! 2^{n-2r-k}}{r! (r+k)! (n-2r-k)!} = \kumiawase{2n}{n+k}
\end{equation}
通りである（左辺の和で、\(r\) の範囲は和の式が意味を持つ範囲での和とする）。

これは、母関数の考察によって直接導けることに気づいた。

\(\newcommand{\floor}[1]{\lfloor #1 \rfloor}
\newcommand{\Babs}[1]{\Bigl\lvert #1 \Bigr\rvert}
\newcommand{\kumiawase}[2]{{}_{#1}\text{C}_{#2}}\)
きっかけとなった記事の最後で触れた \(p_{n}\) の漸近的振るまいが解決したので書いておく。結局、最も妥当な \(p_{n} \to 0 \; (n \to \infty)\) という結果に落ち着いた。以下、やや丁寧に説明してみる。

【追記】
と思ったら、またまた例の方から、もっと簡単に示せることをご教示頂いてしまった。末尾に述べる。