Legendre 多項式で表される確率・その４

\(\newcommand{\kumiawase}[2]{{}_{#1}\text{C}_{#2}}\)
「その２」で、２次元単純ランダムウォークについて次の等式\eqref{eq:37-1}がなりたつことに触れた。

２次元単純ランダムウォークで、原点から出発して \(n\) 歩後に \(x\) 座標が \(k\) となっているような経路数は
\begin{equation}
\label{eq:37-1}
\sum_{r} \frac{n! 2^{n-2r-k}}{r! (r+k)! (n-2r-k)!} = \kumiawase{2n}{n+k}
\end{equation}
通りである（左辺の和で、\(r\) の範囲は和の式が意味を持つ範囲での和とする）。

これは、母関数の考察によって直接導けることに気づいた。

【証明】目標の等式\eqref{eq:37-1}の両辺に \(x^{k}\) をかけ、\(k=-n\) から \(k=n\) まで和をとると
\begin{equation}
\label{eq:37-2}
\sum_{k=-n}^{n} \sum_{r} \frac{n! 2^{n-2r-k} x^{k}}{r! (r+k)! (n-2r-k)!} = \sum_{k=-n}^{n} \kumiawase{2n}{n+k} x^{k}
\end{equation}
となる。これが、\(x\) の有理式の等式として成立することを示せば\eqref{eq:37-1}が言える。

そして
\begin{align}
\text{\eqref{eq:37-2}の右辺} &= \sum_{k=-n}^{n} \kumiawase{2n}{n+k}
x^{n+k} x^{-n} \notag\\
&= x^{-n} (x+1)^{2n} = \biggl( \frac{(x+1)^{2}}{x} \biggr)^{n} \notag\\
\label{eq:37-3}
&= \Bigl( x + 2 + \frac{1}{x} \Bigr)^{n}
\end{align}
だが、これと\eqref{eq:37-2}の左辺を見比べると、\eqref{eq:37-2}の左辺が確かに\eqref{eq:37-3}を多項定理で展開したものになっていることがわかる。よって\eqref{eq:37-2}が示された。\(\square\)

同様の発想を、３次元ランダムウォークバージョン（元の問題では６面体の通常のサイコロバージョン）の
\[ \sum_{r} \frac{n! 4^{n-2r-k}}{r! (r+k)! (n-2r-k)!} \]
に適用しようとした場合、母関数を作ると
\begin{align}
\sum_{k=-n}^{n} \sum_{r} \frac{n! 4^{n-2r-k} x^{k}}{r! (r+k)! (n-2r-k)!} &= \Bigl( x + 4 + \frac{1}{x} \Bigr)^{n} \notag\\
\label{eq:37-4}
&= \Bigl( \frac{x^{2}+4x+1}{x} \Bigr)^{n}
\end{align}
となる所まではうまく話が進むものの、さっきの場合と違って \(x^{2}+4x+1\) が完全平方の形にならないために、\eqref{eq:37-1}のようなきれいな形はでてこない。やはり\eqref{eq:37-1}は左辺の \(2^{n-2r-k}\) の指数の底が「\(2\)」であることがポイントなのだ、ということはここでも確認できる。

ちなみに、前回の
\[ \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} (e^{i\theta} + 2 + e^{-i\theta})^{n}
e^{ik\theta} d\theta = \kumiawase{2n}{n+k} \]
に対しても母関数を作ってみると
\[ \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} (e^{i\theta} + 2 + e^{-i\theta})^{n}
\frac{x^{-n}e^{-in\theta}-x^{n+1}e^{i(n+1)\theta}}{1-xe^{i\theta}} d\theta
= \biggl( \frac{(x+1)^{2}}{x} \biggr)^{n} \]
となる。確かに非自明な関係だとは思うが、意味はさっぱりわからないし、有用性
も見込めない感じ…。