きっかけとなった記事の最後で触れた
【追記】
と思ったら、またまた例の方から、もっと簡単に示せることをご教示頂いてしまった。末尾に述べる。
という漸化式をみたしていた。今、
ここで、主要項と微小な誤差は書き入れた通りである。なぜならば、
という漸化式をみたしながら変化しつつある、ということになる。
である。ここから、「
さらに、特性方程式の解が
よって、
また、
よって、
も得られる。
さて、まず
これと
このことと、
すると
(証明は
すると
の両辺で
よって
である。
このように、
- 振るサイコロの個数が増えるほど、「自動失敗するかしないか」だけに着目した確率では不利になる。
- サイコロが無限に増える極限では、成功・失敗の確率は
ずつ、つまり五分五分というつまらない結果になってしまう。
【追記・もっと簡単な導出】
確率
は、次のように積分表示できる。
ここで、被積分関数のカッコ内の大きさは
と押さえられ、不等号の等号成立は積分区間内では
というのは当たり前だった。こんな、Fourier 変換の初歩的な関係すら思い当たらなかったとは!何とも恥ずかしい限りだ。
なお、この発想を使うと、前回の
という関係は
と書き直せる。これは何かすでによく知られた結果でありそうな気がするなあ…。左辺の漸化式を作るとたぶん示せそう。→つーかこれ、左辺のカッコ内を
で、これも示すのはそんなに難しくなさそうに見える感じ。→こっちはちょっと難しいか?むしろ、この式を上のように複素数表示することでうまく計算できるようになる…という感じですね。
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