\(\newcommand{\pura}{(+)}
\newcommand{\mai}{(-)}
\newcommand{\Ai}{\mathrm{A_{1}}}
\newcommand{\Aj}{\mathrm{A_{3}}}
\newcommand{\Ak}{\mathrm{A_{5}}}
\renewcommand{\kumiawase}[2]{{}_{#1}\text{C}_{#2}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}\)
以下は、勤め先でけっこう以前に高校生の模試に出題された問題だ。（題意を変えない範囲で補足・修正した）
正六角形の各頂点を順に \(\mathrm{A}_{1}\), \(\mathrm{A}_{2}\), \(\mathrm{A}_{3}\), \(\mathrm{A}_{4}\), \(\mathrm{A}_{5}\), \(\mathrm{A}_{6}\) とする。動点 P は最初 \(\mathrm{A}_{1}\) にいて、\(1\) 秒ごとに隣の頂点に同じ確率で移動する。
- \(6\) 回の移動で初めて P が \(\mathrm{A}_{1}\) に戻る確率 \(p_{6}\) を求めよ。
- 正の整数 \(k\) に対して、\(2k\) 回の移動で初めて P が \(\mathrm{A}_{1}\) に戻る確率 \(p_{2k}\) を求めよ。
- \(n\) 回以内の移動で、初めて P が \(\mathrm{A}_{1}\) に戻るまでの回数の平均値を \(E_{n}\) とする。（\(n\) 回以内に \(\mathrm{A}_{1}\) に戻らない場合は \(0\) 回と見なす）\(E = \displaystyle\lim_{k \to \infty} E_{2k}\) を求めよ。
この問題は別に難しくはない。