解ける方程式のガロア群・その２

$$
前回の $\text{(I)}⟹\text{(IV)}$ の証明の step.1 で、群論の予備知識を借用した所、方程式論とガロア理論の知識で解決できることがわかった。と言ってもスッキリした議論にはならなかったので証明としては「群論の予備知識をまず習得して…」という流れの方が優れていると思うが、一応紹介しておく。（もちろん、主な動機は自己満足（笑））

【 証明 】
$f(x)=0$ が代数的に解けるので、$K$ にどんどんべき根を添加していくと $L$ を含む体が作れる。
$$K=K_0\subset K_1\subset \cdots \subset K_r\supset L$$
ここで、$\sqrt[n]{a}$ を添加するステップをすべて次の２段階のステップで置き換えてみる。

■ $1$ の原始 $n$ 乗根を添加する
■ $a$ と $K$ 上共役なすべての数 $a^{\prime },a”,\dots$ に対して、
$\sqrt[n]{a},\sqrt[n]{a^{\prime }},\sqrt[n]{a”},\dots$ を添加する

このようにして作られる体を $M_0=K,M_1,M_2,\dots$ とすると各 $i$ に対して $K_i\subset M_{2i}$ となるから、最終的にはやはり $L$ を含む体 $M_{2r}\supset L$ が作られる。

さらに、作り方から各 $M_i$ はすべて $K$ の有限次正規拡大である。また、各 $i$ に対して $M_{i+1}$ は $M_i$ のアーベル拡大である。

そこで、$M_1,M_2,\dots$ が初めて $L$ を含む直前の状態に着目する。
$$M_i\not\supset L,M_{i+1}\supset L$$
このときの $M_i$ と $L$ の共通部を $K^{\prime }=M_i\cap L$ とおけば、$K^{\prime }$ も $K$ の有限次正規拡大で、$K$ と $L$ の中間体になるから、ガロア理論の基本定理によって、$N=\mathrm{Gal}(L/K^{\prime })$ は $G=\mathrm{Gal}(L/K)$ の正規部分群。また $M_i$ が $L$ を含んでいなかったので $K^{\prime }⊊L$ であり、よって $N$ は単位群ではない。

そして
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathrm{Gal}(L/K^{\prime })\cong \mathrm{Gal}(L{M}_i/M_i)\end{array}$$
であるが、$L{M}_i\subset M_{i+1}$ に注意すれば、$\text{(1)}$の右辺 $\mathrm{Gal}(L{M}_i/M_i)$ は $\mathrm{Gal}(M_{i+1}/M_i)$ の商群と同型。そして $\mathrm{Gal}(M_{i+1}/M_i)$ は可換群だったので、結局
$$N=\mathrm{Gal}(L/K^{\prime })\cong \mathrm{Gal}(L{M}_i/M_i)\cong \text{《可換群 }\mathrm{Gal}(M_{i+1}/M_i)\text{ の商群》}$$
も可換群となる。

よって、$G$ は単位群でない可換な正規部分群 $N$ を持つ。$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$