前回の の証明の step.1 で、群論の予備知識を借用した所、方程式論とガロア理論の知識で解決できることがわかった。と言ってもスッキリした議論にはならなかったので証明としては「群論の予備知識をまず習得して…」という流れの方が優れていると思うが、一応紹介しておく。(もちろん、主な動機は自己満足(笑))
【 証明 】
が代数的に解けるので、 にどんどんべき根を添加していくと を含む体が作れる。
ここで、 を添加するステップをすべて次の2段階のステップで置き換えてみる。
■ の原始 乗根を添加する
■ と 上共役なすべての数 に対して、
を添加する
このようにして作られる体を とすると各 に対して となるから、最終的にはやはり を含む体 が作られる。
さらに、作り方から各 はすべて の有限次正規拡大である。また、各 に対して は のアーベル拡大である。
そこで、 が初めて を含む直前の状態に着目する。
このときの と の共通部を とおけば、 も の有限次正規拡大で、 と の中間体になるから、ガロア理論の基本定理によって、 は の正規部分群。また が を含んでいなかったので であり、よって は単位群ではない。
そして
であるが、 に注意すれば、の右辺 は の商群と同型。そして は可換群だったので、結局
も可換群となる。
よって、 は単位群でない可換な正規部分群 を持つ。
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