解ける方程式のガロア群・その2


前回の (I)(IV) の証明の step.1 で、群論の予備知識を借用した所、方程式論とガロア理論の知識で解決できることがわかった。と言ってもスッキリした議論にはならなかったので証明としては「群論の予備知識をまず習得して…」という流れの方が優れていると思うが、一応紹介しておく。(もちろん、主な動機は自己満足(笑))

【 証明 】
f(x)=0 が代数的に解けるので、K にどんどんべき根を添加していくと L を含む体が作れる。
K=K0K1KrL
ここで、an を添加するステップをすべて次の2段階のステップで置き換えてみる。

1 の原始 n 乗根を添加する
aK 上共役なすべての数 a,a, に対して、
an,an,an, を添加する

このようにして作られる体を M0=K,M1,M2, とすると各 i に対して KiM2i となるから、最終的にはやはり L を含む体 M2rL が作られる。

さらに、作り方から各 Mi はすべて K の有限次正規拡大である。また、各 i に対して Mi+1Mi のアーベル拡大である。

そこで、M1,M2, が初めて L を含む直前の状態に着目する。
MiL,Mi+1L
このときの MiL の共通部を K=MiL とおけば、KK の有限次正規拡大で、KL の中間体になるから、ガロア理論の基本定理によって、N=Gal(L/K)G=Gal(L/K) の正規部分群。また MiL を含んでいなかったので KL であり、よって N は単位群ではない。

そして
(1)Gal(L/K)Gal(LMi/Mi)
であるが、LMiMi+1 に注意すれば、(1)の右辺 Gal(LMi/Mi)Gal(Mi+1/Mi) の商群と同型。そして Gal(Mi+1/Mi) は可換群だったので、結局
N=Gal(L/K)Gal(LMi/Mi)《可換群 Gal(Mi+1/Mi) の商群》
も可換群となる。

よって、G は単位群でない可換な正規部分群 N を持つ。◻


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