先日、「ゼロから学ぶグレブナー基底（入門編）」を受講してきて、グレブナー基底のことがちょっとはわかるようになりました！おかげで、jurupapa さんの所のコメント欄や ehito さんの所でしばしば挙げられていた、グレブナー基底を使ったプログラムがわかるようになりました。感激！（ものによっては、グレブナー基底以外の部分のハードルが私には高くて、部分的にしかわからなかったものもありましたが）
今や、jurupapa さんの GaloisGroupSolver で \(g(x)\) を順次因数分解していくところで、「アルゴリズムA」の代わりにグレブナー基底を使うと、何がどうなって問題を回避できるようになっているのかも理解できるようになりました！
それらについて改めて考えたり、maxima での動作を確かめたりしているうちに、最初の方の処理「与えられた整数係数の方程式のガロア群を置換群として求める」も、元々私が公開していたものとは別のやり方で計算できるアルゴリズムを何通りか思いつきました。ひとつ思いつくと思い込みの壁が崩れるため、続けていくつかのバリエーションが出てきたのですが、その中にはグレブナー基底を使わないものもあります。このため、新しいアルゴリズムではガロア群の計算は結構軽量化できると思います（少なくとも、数式処理ソフトの利用を前提とする限りは。手計算では、軽くなったと言っても \(4\) 次以上の方程式に対しては相変わらず到底実現可能な域ではないでしょう）。
jurupapa さんや「退職後は素人数学者」さんが実際に動作するプログラムを組み上げてくださったおかげで、元々私が公開していた記事のアルゴリズムでは、次の２ヶ所の処理が極めて重いことが解っていました。
- 最小分解体の原始元 \(V\) を根に持つ有理数係数多項式 \(F(x)\) の算出
- 各解を \(V\) の有理数係数多項式として表す式の算出
これは、私のアルゴリズムではどちらの処理も「解の対称式のかなり高次の多項式・有理式をまず求め、更に解と係数の関係からそれらの値を求める」という方針になるためです（正確には、2. はお二人とも私のアルゴリズムそのものではなく、計算量を軽減する工夫をされていましたが、それでも「解の基本対称式の値がわかっていることを利用して、解の多項式の次数下げをひたすら繰り返す」という部分は共通で、それが計算を重くしているという事情は同じでした）。
このうち、2. の処理については既に「代数拡大体上の因数分解」の技法によって、もっとはるかに簡単に計算できるようになっており、jurupapa さんのプログラムに取り込まれています。これに続いて、ついに 1. も「解の基本対称式を利用した次数下げ」から脱却できるようになったわけです（…ということ自体は既にかなり前に ehito さんが呈示しておられたのですが、そこで使われていたのがグレブナー基底だったため、私にはその原理がわからなかったのです）。
また例によって結構余裕のない日々がしばらく続くのですが、１ヶ月なり数ヵ月なり後に、グレブナー基底の解説と共に新しいアルゴリズムを紹介する記事を書くつもりでおりますので、この話題に注目されてる方がいらしたら気長にお待ち頂ければと思います。